\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
\section{相对论动量定理}

\subsection{回顾相对论动量}
\footnote{参考：Griffiths《电动力学导论》；本文使用AI辅助。}
在隔壁“相对论自由粒子”的笔记中，我们已经了解到，一个粒子的相对论动量为
\begin{equation} \label{eq:rel_momentum}
	\bvec{p} = \frac{m_0 }{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \bvec{v}
\end{equation}
其中
\begin{itemize}
    \item $\bvec{p}$：粒子的相对论动量，是一个矢量$\bvec p = (p_x,p_y,p_z)^T$。
    \item $m_0$：粒子的静止质量。
    \item $\bvec{v}$：粒子的“常规”速度，即我们在参考系中用尺子和秒表直接测量的速度，是一个矢量$\bvec v = (v_x,v_y,v_z)^T$。
	$v$是速度的大小$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$。
    \item $c$：光速。
\end{itemize}

\subsection{相对论动量定理}
在狭义相对论中，我们沿用动量定理，即外力可以改变粒子的动量，不过这里的动量指的是相对论动量：
\begin{equation} \label{eq:rel_momentum_law}
	\bvec F = \dv{\bvec p}{t}
\end{equation}
在经典力学中，$\bvec p = m_0 \bvec v$；而在相对论中，$\bvec{p} = \frac{m_0 }{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \bvec{v}$，
这使得$\dv{\bvec p}{t}$与动量定理\formula{eq:rel_momentum_law}变得肉眼可见的复杂：
\begin{equation} \label{eq:rel_momentum_law2}
	\bvec F = \dv{\bvec p}{t} 
	= \dv{}{t} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}  \right) m_0 \bvec v
	+ \left( \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}  \right) \dv{}{t} \bvec v
\end{equation}
其中使用链式求导法则可以证明
\begin{equation}
	\dv{~}{t} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}  \right)~
	= - \frac{1}{2({1 - \frac{v^2}{c^2}})^{3/2}} \left( -\frac{2 \bvec v}{c^2} \right) \dv{\bvec v}{t}
	= \frac{1}{({1 - \frac{v^2}{c^2}})^{3/2}} \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2}
\end{equation}
因此 \formula{eq:rel_momentum_law2} 化为
\begin{equation} \label{eq:rel_F_a}
\begin{aligned}
	\bvec F &= \dv{\bvec p}{t} \\
	&= \frac{m_0}{({1 - \frac{v^2}{c^2}})^{3/2}} \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} \bvec v + \left( \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right) \bvec a \\
	&= \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2(1 - \frac{v^2}{c^2})}\bvec v + \bvec a \right) \\
	&= \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2 - v^2}\bvec v + \bvec a \right)
\end{aligned}
\end{equation}
其中$\bvec a = \dv{\bvec v}{t}$表示“常规”加速度。可见，在狭义相对论中，力与加速度的关系变得非常复杂，而不再是经典力学的简单线性关系 $\bvec F = m_0 \bvec a$。

注意，在这个笔记中，我们没有使用任何四维量。四维量的定义与此不同。

\subsection{一维粒子例子}
以下我们假设一个一维粒子，那么力、速度和加速度必然是同向的，这使我们的动量定理 \formula{eq:rel_F_a} 化为
\begin{equation}
\begin{aligned}
	F &= \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{v^2}{c^2 - v^2} + 1\right) a \\
	&= \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{c^2}{c^2 - v^2}\right) a \\
	&= \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right) a \\
	&= \frac{m_0 a}{(1 - \frac{v^2}{c^2})^{3/2}} 
\end{aligned}
\end{equation}
从上述推导可以看出，当粒子的速度 $v$ 接近光速 $c$ 时，
因子 $\frac{m_0}{(1 - \frac{v^2}{c^2})^{3/2}}$ 会变得非常大，而加速度 $a$ 变得非常小。
\end{document}
